En esta clase se realizó la PRUEBA BIMESTRAL.
LUNES 06 DE JUNIO DEL 2016.
EXPERIMENTO ESTADÍSTICO
Este tema esta definido como un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún estudio de interés .
Entre las características mas importantes a resaltar acerca del experimento estadístico se tiene:
- Se conocen los resultados posibles antes del experimento.
- No se puede predecir el resultado de cada ensayo.
- Debe poderse repetir el experimento en condiciones similares.
- Se puede predecir un patrón durante el desarrollo del experimento.
MIÉRCOLES 08 DE JUNIO DEL 2016.
ESPACIO MUESTRAL (S)
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de Sse denomina Punto Muestral. Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.
**Discreto.- si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. En este caso S puede se finito o infinito.
**Continuo.- si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este caso S es infinito por definición.
EVENTOS
En resumen una σ-Algebra incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.
PROBABILIDAD DE EVENTOS
El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.
"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:
Un evento se puede definir como un subconjunto del espacio muestral S , se denota con letras mayúsculas A , B ,...Z. Otra forma de denotarse es utilizando la letra E1, E2 ,E3 ,etc.
Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales)
Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral)
Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes
σ-ALGEBRA (sigma álgebra).
El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría de Conjuntos. Pero existe un álgebra formal específica para su estudio denominada σ-Algebra.
σ-Algebra A es una colección no vacía de subconjuntos de S tales que:
1) S ∈ A
2) Si A ∈ A, entonces A^C ∈ A
3) Si A1, A2, ... ∈ A, entonces:
En resumen una σ-Algebra incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.
PROBABILIDAD DE EVENTOS
El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.
Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice.
"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:
- P(A)=0 , es la certeza de que no se realizara.
- P(A)=1 , es la certeza de que si se realizara.
- P(A)=1/2 , indica que existe la posibilidad de que se realice o no se realice.
Asignación de valores de probabilidad a eventos
1) Empírica.- Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de
intentos realizados.
2) Mediante modelos matemáticos.- Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos, tanto para variables discretas como continuas.
3) Asignación clásica.-Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).
Un subtema de probabilidad de eventos se tiene :
LA PROBABILIDAD DE EVENTOS SIMPLES, la cual se caracteriza porque incluye un solo punto muestral por lo que un evento cualquiera A de S puede considerarse como la unión de sus eventos simples.
AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
Con la finalidad de facilitar la resolución de problemas y basándose en la definición de probabilidad , se definieron los siguientes axiomas:
Sea S: Espacio muestral
Con la finalidad de facilitar la resolución de problemas y basándose en la definición de probabilidad , se definieron los siguientes axiomas:
Sea S: Espacio muestral
E: Evento de S
P(E): Probabilidad del evento E
R: Conjunto de los reales
P una función que asocia a cada evento E de S un número real
Función de Probabilidad de un Evento
P: S→ R
E → P(E), dominio P = S, rango P = [0, 1]
P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas:
ejemplo de aplicacion
LUNES 13 DE JUNIO 2016
Probabilidad condicional
Sean A ^ B eventos de S
-La probabilidad condicional de un evento A, dado el evento B se escribe P(A|B) y es:
P(A|B)= P(AnB) / P(B) ; P(B) debe ser diferente de 0
Lunes, 13 de junio/2016
Axiomas de probabilidad condicional
1) P(A) ≥ 0
2) P(S) =1
3) P(AUB)= P(A) + P(B) - P(AnB)
A Continuación se resuelve el ejercicio del libro que se muestra en la siguiente figura:
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que A y B son eventos independientes si P(A|B)= P(A) y P(B|A)= P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A
i) P(A|B)= ( P(AnB) )/ P(B) = ( P(A) P(B) ) / P(B) P(A|B)= P(A)
ii) P(B|A)= ( P(AnB) )/ P(A) = ( P(A) P(B) ) / P(A) P(B|A)= P(B)
* Eventos independientes de la probabilidad con 3 eventos
Si A, B, C son eventos mutuamente independientes, entonces
P(AnBnC) = P(A) P(B) P(C)
EJEMPLO:
REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD:
Es aplicable siempre y cuando A Y B sean eventos no nulos del espacio muestral S.
Se representa como :
Miércoles, 15 de Junio 2016
PROBABILIDAD TOTAL
Sean B1, B2, B3... Bk , eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades.
a) Para todo i,j ( Bi n Bj) = 0; i ≠ j (Los eventos son excluyentes)
b) B1 U B2 U....U Bk = S
P(A) = P(B1) P(A|B1) +P(B2) P(A|B2)+..... P(Bk) P(A/Bk)
P(A)= SUMATORIA P(B1) P(A|B1)
CON RAMALES COMO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA:
EJEMPLO:
LUNES 20 DE JUNIO DEL 2016
VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias establecen correspondencias del espacio muestral S al conjunto de los números reales
Definición:
SEAN:
X: Variable aleatoria e: Cualquier elemento de S R: Conjunto de los números reales
S: Espacio muestral x: Valor que puede tomar X
ENTONCES:
X: S --> R Es la correspondencia que establece la variable aleatoria x
e --> x, dom x= S; rgX es subconjunto de R
EJEMPLO:
Distribución de Porbabilidad de una Variable aleatoria discreta
Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad
Definición:
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x)= P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x
ENTONCES, LA CORRESPONDENCIA
f: X ---> R
X ----> f(x)= P(X=x), dom f =x ; rg f es subconjunto [0,1]
EJEMPLO:
MIERCOLES 22 DE JUNIO DEL 2016
Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable aleatoria discreta
SEAN: X: Variable aleatoria
f: Distribución de probabilidad de la variable aleatoria x
F: Distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria
F(x)= P(X ≤ x)= SUMATORIO f(x)
F: R ---> R domF=R; rg F es subconjunto de [0,1]
Propiedades de Probabilidad acumulada.
1.) 0 ≤ F(x) ≤ 1
2.) a ≤ b --> F(a) ≤ F(b); F es creciente
3.) P(x >a)= 1 - P(x≤a)= 1-F(a)
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de x
U= E(X): Media o valor esperado de x
ENTONCES:
Valor esperado de expresiones con una variable aleatoria
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de x
G(x): Alguna expresión con la variable aleatoria
ENTONCES:
LUNES 27 DE JUNIO DEL 2016
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.
DEFINICIÓN:
Sea X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad
μ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X
Entonces:
EJEMPLO:
Varianza de una variable aleatoria discretaSEA: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad
u o E(x): Media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X
ENTONCES:
Propiedades de la varianza
1) V(ax +b) = a^2 V(x)
2) V(b) = 0
3) V(b) = 0
4) Var( X+ Y)= V(X) + V(Y)
Formula para calcular la varianza.f(x): Distribución de probabilidad
u o E(x): Media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X
ENTONCES:
Propiedades de la varianza
1) V(ax +b) = a^2 V(x)
2) V(b) = 0
3) V(b) = 0
4) Var( X+ Y)= V(X) + V(Y)
Propiedades
a, b ∈ R: Números reales cualesquiera.
Corolarios
El segundo corolario muestra que si el resultado de un experimento es un valor constante entonces la varianza (o variabilidad), es nula.
UNICIDAD DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DEFINICIÓN:
X, Y Variables aleatorias discretas.
f(x), f(y) Distribuciones de Probabilidad de X, Y respectivamente.
Mx(t), My(t) Funciones Generadoras de Momentos de X, Y respectivamente.
Si Mx(t) = My(t) entonces f(x) = f(y)
Si dos variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos idénticas, entonces tienen idénticas funciones de distribución de probabilidad.
MIÉRCOLES, 29 de JUNIO 2016
EJEMPLO
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
SEA: X: Variable aleatoria
x: x1,x2,x3...xn tengan igual probabilidad
f(x) = 1/n ... x= x1,x2,x3..,xn
0 .... Para otro caso
EJEMPLO: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado. Si X es la variable aleatoria correspondiente a los 6 posibles resultados. Halle la distribución de probabilidad. Calcular la probabilidad que X tome el valor de 3
x= 1,2,3,4,5,6
n= 6
f(x) = 1/n = 1/6....... x= 1,2,3,4,5,6
F(3)= 1/6
u= 3,5
G^2= 35/12
DISTRIBUCIÓN BERNULLÍ
En esta distribución solo existen 2 posibles resultados: éxito y fracaso
DONDE:
p= probabilidad de que exista éxito
q= probabilidad de que exista fracaso
p; x=1
q; 1-p; x=0
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Posibles resultados: éxitos y fracasos
Características:
- Eventos son independientes
- Ensayos (n) finitos
- p= constante
DEFINICIÓN: X: Variable aleatoria discreta
x= 0,1,2,...,n
p= probabilidad de éxito
BIBLIOGRAFÍA: Luis Rodríguez Ojeda.(2007). Probabilidad y Estadística Básica para Ingenieros. Guayaquil-Ecuador: ESPOL
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