JULIO

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETAS 

La distribución de probabilidades discretas estudian modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas.

El objetivo es obtener una formula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

1.  DISTRIBUCION DICRETA UNIFORME
Una variable tiene una distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su espacio muestral puede obtenerse con igual probabilidad.

EJEMPLO:

El gráfico de la distribución discreta uniforme tiene forma regular.

Media y varianza de la distribución discreta uniforme

EJEMPLO:

2.  DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

En un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es costumbre designar como "éxito" y "fracaso" aunque pueden tener otra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.
Si la probabilidad de obtener "éxito" en cada ensayo es un valor que o represente con p, entonces, la probabilidad de obtener "fracaso" será el complemento q=1-p.

El experimento puede repetirse y en cada ensayo el valor de probabilidad p se mantiene constante. Se supondrá también que los ensayos son independientes, es decir el resultado de un ensayo no afecta a los resultados de los otros ensayos.
EJEMPLO:

3.  DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con características similares a un experimento Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de éxitos que se obtienen en un experimento.

Características de un experimento Binomial

1. La cantidad de ensayos n, que se realiza es finita.
2. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles
3. Todos los ensayos realizados son independientes.
4. La probabilidad p. de obtener éxito en cada ensayo es constante

EJEMPLO

NOTACIÓN:

Media y varianza de la distribución Binomial

EJEMPLO

4.  DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: 

1. La cantidad de ensayos n, que se realiza es finita.
2. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles
3. Todos los ensayos realizados son independientes.
4. La probabilidad p. de obtener éxito en cada ensayo es constante.

Pero, en este modelo la variable aleatoria es diferente:

"EN LA DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA, LA VARIABLE DE INTERES ES LA CANTIDAD DE ENSAYOS QUE SE REALIZAN HASTA OBTENER UN NUMERO REQUERIDO DE EXITOS."

EJEMPLO:

Media y varianza de la distribución Binomial Negativa

5.  DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer éxito.

Media y varianza de la distribución Geométrica

EJEMPLO

6.  DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados éxitos y los restantes son considerados fracasos.

Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de éxito al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población esta cambiando.

EJEMPLO

Media y varianza de la distribución Hipergeométrica

EJEMPLO

7.  DISTRIBUCIÓN DE POISSON

 8. Distribución Normal

La distribución Normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatoria de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos.

Distribución Normal Estándar 

Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución Normal, es conveniente definir la DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR que se obtiene haciendo u=0 y en la función de densidad de la Distribución Normal.

Ejemplo 
Usando la Tabla de la Distribución Normal Estándar calcule: 

MUESTREO ESTADÍSTICO 

El muestreo estadístico es un procedimiento para obtener datos de una población con la finalidad de usar esta información para realizar inferencias acerca de dicha población mediante las técnicas que se estudian en Estadística Inferencial.

Las muestras son subconjunto de los datos. El conjunto de todas las muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio muestral.

El muestreo estadístico se basa en el principio de equiprobabilidad, es decir que cada individuo de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Consecuentemente, cada muestra también tendrá la misma probabilidad de ser seleccionada.

Para obtener conclusiones y evidencias comprobatorias suficientes, el investigador no esta obligado a examinar todos y cada uno de los individuos o muestras de una población. Solamente debe examinar una muestra representativa de dicha población.

Técnicas de selección de muestras: se detallan a continuación:

Distribución de Muestreo 

En esta sección se establecio algunas deficiones y términos relacionados con el estudio de la Estadística Inferencial que constituye el componente fundamental del estudio de la Estadística.

Una inferencia estadistica es un afirmacion que se hace acerca de algun parametron de la poblacion utilizando la informacion contenida en una muestra tomada de esa poblacion.

Debemos aceptar que por la naturaleza aleatoria de los datos obtenidos en la muestra, hay un riesgo en la certeza de la afirmacion propuesta, y es necesario establecer una medida para determinar la magnitud del riesgo.

Distribucion de muestreo de la media muestral

En esta seccion se estudio las propiedades de la distribucion de probabilidad de la Media Muestral.

Corrección de la varianza

Si el tamano N de la poblacion es finita y este numero no es muy grande con respecto al tamano n de la muestra, se debe usar la siguiente formula para corregir la varianza muestral, la cual se aplica si el tamano de la muestar es mayor al 5% del tamano de la población.

Media muestral de una poblacion Normal

Ejemplo:

Un fabricante especifica la duracion de sus baterias, tiene Distribucion NOrmal con media 36 meses y desviacion estandar 8 meses. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 9 baterias tenga una duracion media menor o igual que 30 meses

Teorema del limite central

El siguiente enunciado es uno de los mas importantes teoremas de la Estadistica Inferencial

Ejemplo

Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio de 22.5 gr, con una desviacion estandar de 2.5gr. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 40 pauqetes de este producto tenga un peso promedio menor o igaul que 20 gr.

ESTADISTICA INFERENCIAL

Métodos de inferencia estadística

INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA MEDIA

Estimación puntual de la media

Muestras Grandes (n>=30)

Consideremos la distribución normal estándar separando e area en tres partes. La porción central con área o probabilidad 1-a, y dos porciones simétricas a los lados con área o probabilidad a/2 cada una, siendo a un valor especificado.

Ejemplo

Se ha tomado una muestra aleatoria de 50 artículos producidos por una industria y se obtuvo que el peso de la media muestral fue de 165 gr. con una desviación estándar de 40 gr. Encuentre el mayor error en la estimación de la media poblacional, con una confianza de 95%.

Tamaño de la muestra

La formula anterior se puede usar para estimar el tamaño de la muestra para que el error no exceda a cierto valor con probabilidad especificada.

Ejemplo

Se conoce que la varianza de una población es 20. Determine cual debe ser el tamaño de la muestra para que el error máximo en la estimación de la media poblacional mediante la media muestral no exceda de 1 con una probabilidad de 99%.